Disfida Matematica 2008

Soluzioni del problema 19

19.

Il passatempo di Warlock    Sia $114197726928752863294965276721=x=y^{14}$. L'ultima cifra di $y$ non può essere nè $3$ nè $7$ poiché $3^{14}\equiv 7^{14}\equiv 9 \mod 10$, inoltre non può neanche essere pari o $5$ perché $x$ non è nè pari nè multiplo di 5; quindi $y\equiv \pm 1 \mod 10$, ovvero la cifra delle unità di $y$ è $1$ oppure $9$. Inoltre $y>100$, poiché $100^{14}$ ha 29 cifre, mentre $x$ ne ha 30.
Ora, se l'ultima cifra di $y$ è $1$, scriviamo $y=10a+1$ per qualche intero positivo $a\geq 10$. Consideriamo ora la congruenza mod $100$ di $y^{14}=(10a+1)^{14}$. Sviluppando il binomio, dato che vogliamo lavorare mod $100$, quasi tutti i termini sono multipli di $100$ e quindi si possono ignorare; rimane

$$140a+1 \equiv 21 \mod 100$$

cioè $140a\equiv 20 \mod 100 \, \Rightarrow \, 2a \equiv 1 \mod 5 \, \Rightarrow \, a\equiv 3 \mod 5$. Quindi il minimo $a\geq 10$ che soddisfa queste condizioni è $a=13$, che porterebbe a $y=131$. Il valore successivo sarebbe invece $y=181$.

Similmente, per $y=10a-1$ otteniamo $-140a+1 \equiv 21 \mod 100 \, \Rightarrow \, 3a\equiv 1\mod 5 \, \Rightarrow \, a\equiv 2\mod 5$. Il più piccolo $a$ che porta a $y>100$ è $a=12$, con cui si ottiene $y=119$. Il valore successivo sarebbe invece $y=169$.

Mostriamo ora che $y=131$ è già troppo grande con la seguente catena di disuguaglianze:

$$131^{14} > 130^{14} > 2\cdot 10^{29} > x$$

La prima e la terza disuguaglianza sono ovvie; dimostriamo quindi la seconda: $130^{14} > 2\cdot 10^{29}$. Semplificando i fattori in comune otteniamo $13^{14}>2\cdot 10^{15}$. Estraendo la radice quadrata si ottiene $13^7 > 2\sqrt{5}\cdot 10^{7}$. Ora, $13^7$ non è proprio orribile da calcolare (o da stimare) a mano e risulta uguale a $62.748.517$, mentre a destra abbiamo, dato che $\sqrt{5}<3$, un numero minore di $6\cdot 10^7$, che è a sua volta minore di $13^7$.
Dunque $y=119$ e la risposta è .