Disfida Matematica 2007

Soluzioni dei problemi 1 - 5

1. L'ora fatale.    È sufficiente osservare che tra tutte le ore che un'orologio digitale può segnare, ce ne è esattamente una che una la somma delle cifre massima. Questa è data dalla somma massima delle cifre dei numeri tra 0 e 24, ovvero 19, e la somma massima delle cifre dei numeri tra 0 e 59, ovvero proprio 59. Quindi l'ora indicata è 19:59. L'osservazione sul fatto che da mezzanotte alle 03:00 l'aula è sgombra serve per evitare lo stesso discorso per la somma minima, che si otterrebbe appunto per le 00:00 ma che non può essere indicata in quel momento.Quindi la risposta è .

2. La riconta.    Partiamo dall'ultima colonna della sottrazione: $2-d=3$ , quindi $d=9$ e da $c$ viene sottratto 1. Si ha poi $c-1-8=7$ , e dunque anche qui c'è un prestito e $c-1=5$ , ovvero $c=6$ . Continuando, la cifra 8 che precede $c$ diventa 7, e $7-8=b$ è risolta da $b=9$ di nuovo con un prestito. Poichè ora ci sono due zeri, questi diventano due 9e il presitto dee venire da $a$ . Anche se non sappiamo quanto valgono gli altri simboli, deve essere $a-1-4=2$ , dunque $a=7$ . La risposta è .

3. Separati in casa.    Poiché i triangoli di Maggioranza e Opposizione sono isosceli e hanno un lato in comune, i loro lati obliqui sono tutti uguali. Inoltre il loro lato comune è uguale al lato degli Indecisi, dunque il triangolo degli Indecisi è equilatero. L'angolo fra Maggioranza e Indecisi risulta quindi di $80^\circ$ . Chiamiamo $a$ ciascuno degli angoli alla base del triangolo dell'Opposizione: si ha
   $$180^\circ=80^\circ+20^\circ+60^\circ+2a\,,$$
   da cui $a=10^\circ$ . Quindi gli angoli del giardino sono $80^\circ$ , $70^\circ$ e $30^\circ$ . La soluzione è .

4. Ungere le ruote.    Denotiamo con $c$ il valore di un $\heartsuit$ , con $q$ quello di un $\diamondsuit$ e con $p$ quello di una $\spadesuit$ . Si ottiene il sistema
   $$\begin{cases} 3c+2q=110\\ 2c+2q=80\\ c+3q+3p=140\\ 4q+2p=130\\ q+5p=100\,. \end{cases}$$
   Dalle prime due equazioni si ottiene $c=30$ e $q=10$ , mentre dalle ultime due si ha $q=25$ e $p=15$ . Quindi già le prime due e le ultime due sono incompatibili. Provando a sostituire $q=25$ nella prima si ha $c=20$ , e con i valori $c=20, q=25, p=15$ anche la terza risulta soddisfatta. Quindi l'equazione sbagliata è la seconda e il valore corretto del pacco è 90. La risposta è quindi .

5. Amici nemici.    Usiamo le iniziali F,G,M,R,S,U per indicare i sei colleghi. Una coppia è sicuramente FG, e M prende l'aereo, quindi non può stare con R. Neppure S sta con R, quindi le altre coppie sono per forza RU e MS. Quindi MS vanno in aereo(=1) e, poiché U non prende il treno, RU devono andare in autobus(=3). Per FG resta quindi solo il treno(=2). La risposta è dunque .