Disfida Matematica 2008

Soluzioni del problema 19



19.
Il passatempo di Warlock    Sia $ 114197726928752863294965276721=x=y^{14}$. L'ultima cifra di $ y$ non può essere nè $ 3$$ 7$ poiché $ 3^{14}\equiv 7^{14}\equiv 9 \mod 10$, inoltre non può neanche essere pari o $ 5$ perché $ x$ non è nè pari nè multiplo di 5; quindi $ y\equiv \pm 1 \mod 10$, ovvero la cifra delle unità di $ y$ è $ 1$ oppure $ 9$. Inoltre $ y>100$, poiché $ 100^{14}$ ha 29 cifre, mentre $ x$ ne ha 30.
Ora, se l'ultima cifra di $ y$ è $ 1$, scriviamo $ y=10a+1$ per qualche intero positivo $ a\geq 10$. Consideriamo ora la congruenza mod $ 100$ di $ y^{14}=(10a+1)^{14}$. Sviluppando il binomio, dato che vogliamo lavorare mod $ 100$, quasi tutti i termini sono multipli di $ 100$ e quindi si possono ignorare; rimane

$\displaystyle 140a+1 \equiv 21 \mod 100 $

cioè $ 140a\equiv 20 \mod 100 \, \Rightarrow \, 2a \equiv 1 \mod 5 \, \Rightarrow \, a\equiv 3 \mod 5$. Quindi il minimo $ a\geq 10$ che soddisfa queste condizioni è $ a=13$, che porterebbe a $ y=131$. Il valore successivo sarebbe invece $ y=181$.

Similmente, per $ y=10a-1$ otteniamo $ -140a+1 \equiv 21 \mod 100 \, \Rightarrow \, 3a\equiv 1\mod 5 \, \Rightarrow \, a\equiv 2\mod 5$. Il più piccolo $ a$ che porta a $ y>100$ è $ a=12$, con cui si ottiene $ y=119$. Il valore successivo sarebbe invece $ y=169$.

Mostriamo ora che $ y=131$ è già troppo grande con la seguente catena di disuguaglianze:

$\displaystyle 131^{14} > 130^{14} > 2\cdot 10^{29} > x $

La prima e la terza disuguaglianza sono ovvie; dimostriamo quindi la seconda: $ 130^{14} > 2\cdot 10^{29}$. Semplificando i fattori in comune otteniamo $ 13^{14}>2\cdot 10^{15}$. Estraendo la radice quadrata si ottiene $ 13^7 > 2\sqrt{5}\cdot 10^{7}$. Ora, $ 13^7$ non è proprio orribile da calcolare (o da stimare) a mano e risulta uguale a $ 62.748.517$, mentre a destra abbiamo, dato che $ \sqrt{5}<3$, un numero minore di $ 6\cdot 10^7$, che è a sua volta minore di $ 13^7$.
Dunque $ y=119$ e la risposta è \fbox{0119}.





Disfida Matematica 2008-03-26