Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 22



22
Bowling 2.    Consideriamo inizialmente la piramide minimale fatta da 4 sfere e chiamiamo $ R$ il raggio di ogni sfera. Poiché le 4 sfere si toccano vicendevolmente in un punto, i centri distano esattamente $ 2R$ l'uno dall'altro, e dunque stanno sui vertici di un tetraedro regolare di spigolo $ 2R$. L'altezza di tale tetraedro si può calcolare in questo modo: essa cade nel centro del triangolo equilatero che sta alla base, e dunque è il cateto di un triangolo rettangolo di ipotenusa $ 2R$ e l'altro cateto dato dalla distanza del centro della base da un suo vertice, ovvero $ 2\sqrt{3}R/3$. Si ha quindi

$\displaystyle h=\sqrt{4R^2-\frac{4}{3}R^2}=R\sqrt{\frac{8}{3} }=\frac 2 3 R\sqrt{6}\,.
$

Nella piramide di $ 25$ strati del quesito, la distanza verticale del centro delle sfere dello strato più basso dal centro della sfera più in alto è dunque $ 24 h= 16R\sqrt{6}$. A questa va aggiunto $ 2$ volte $ R$, ovvero la distanza dei centri delle sfere degli strati estremi da terra e dalla sommità della piramide. In tutto si ottiene

$\displaystyle 16R\sqrt{6}+2\,R=41,192\,R\,.
$

Poichè $ R$ misura $ 100$ mm, troncando al numero intero la risposta corretta è \fbox{4119}.





DMF Web 2006-04-03