Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 16

16

Indicazioni enigmatiche.    Se indichiamo con $x$ la distanza tra Valentina e Gugilelmo, le posizioni della fiaccola, di Valentina e di Guglielmo formano un tirangol di lati $1,x,x^2$. Quindi tale triangolo è sottoposto ail solito vincolo che un lato deve essere minore o uguale della somma degli altri due (dove in realtà l'uguale vale soltanto nel caso degenere di tre punti allineati, che comunque in questo caso è permesso). Quindi si deve avere

$$\begin{cases} x\leq 1 +x^2\\ x^2\leq 1 + x\\ 1\leq x+x^2\,. \end{cases}$$

Se ora si risolvono separatamente le tre disequazioni, si ottiene facilmente che la prima è sempre verificata, mentre le altre due danno rispettivamente

$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\leq x \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$x\leq\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\quad\vee\quad x \geq \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\,.$$

Dunque si ricava

$$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leq x \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,,$$

che è compatibile anche col fatto che $x$ è una distanza, e dunque è positiva. Quindi la differenza tra le distanze in km è

$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=1$$

ed espressa in metri dà la risposta .