Disfida Matematica 2006

Soluzioni dei problemi 11 - 14

11. Crescita matematica.     Si tratta di suddividere i $\phantom{'}\!365$ giorni di quest'anno (che non è bisestile) nelle $\phantom{'}\!3$ tipologie di giorni. I giorni multipli di $\phantom{'}\!3$ saranno dati dalla divisione $365/3 = 121$ (scartando il resto); il totale di quelli pari sono $\phantom{'}\!182$ da cui però devo togliere i multipli di $\phantom{'}\!6$ (che sono sia pari che multipli di $\phantom{'}\!3$) che sono $\phantom{'}\!60$, e quindi abbiamo $182 - 60 = 122$ giorni del secondo tipo. Rimangono quindi $365 - 121 - 122 = 122$ giorni del terzo tipo. La crescita totale è dunque $3\cdot 121 + 2 \cdot 122 + 1 \cdot 122 = 729$. La risposta è dunque . Nota: ragionando a gruppi di $\phantom{'}\!6$ giorni consecutivi si può osservare che questi sono equamente suddivisi nelle tre tipologie (il terzo e il sesto con crescita di $\phantom{'}\!3$ millimetri, il secondo e il quarto con crescita di $\phantom{'}\!2$ millimetri, il primo e il quinto con crescita di $\phantom{'}\!1$ millimetro, con una crescita media di $\phantom{'}\!2$ millimetri al giorno. L'altezza dopo $\phantom{'}\!366$ giorni (che è multiplo di $\phantom{'}\!6$) sarà quindi di $\phantom{'}\!732$ millimetri a cui devo togliere i $\phantom{'}\!3$ di crescita del primo gennaio 2007.

12. Ubriaconi.     Per semplificare un po' i conti osserviamo che tutti i prezzi sono multipli di $\phantom{'}\!8$, e che se dividiamo i prezzi unitari per $\phantom{'}\!8$ otteniamo un un prezzo con sole cifre $\phantom{'}\!1$; dopo questa operazione la spesa complessiva risulta di $\phantom{'}\!8750$, ora è chiaro che per minimizzare il numero di cifre complessive conviene massimizzare le bottiglie comprate di prezzo più elevato, e quindi ci saranno $\phantom{'}\!7$ bottiglie da $\phantom{'}\!1111$ (spesa rimanente $\phantom{'}\!973$), $\phantom{'}\!8$ da $\phantom{'}\!111$ (spesa rimanente $\phantom{'}\!85$), $\phantom{'}\!7$ da $\phantom{'}\!11$ (spesa rimanente $\phantom{'}\!8$) e $\phantom{'}\!8$ da $\phantom{'}\!1$. Il numero di cifre $\phantom{'}\!1$ sulla ricevuta saranno $4\cdot 7 + 3 \cdot 8 + 2 \cdot 7 + 8 = 74$. La risposta è .

13. Il primo laghetto.     La situazione descritta nel testo corrisponde alla figura seguente:
    
    La semiretta da $O$ passante per Andrea è la bisettrice dell'angolo $\phantom{,}\!\widehat{AOC}$ e similmente riguardo a Luca, quindi l'angolo richiesto è sempre la metà dell'angolo $\phantom{,}\!\widehat{AOB}$ indipendentemente dalla posizione del punto di tangenza $C$. Il quadrilatero $VAOB$ ha due angoli retti, e quindi $\widehat{AOB} = 180 - 56 = 124$. I valori massimo e minimo richiesti sono dunque tra loro coincidenti e valgono $124/2=62$. La risposta è .

14. Il gioco dell'oca.     Poiché $80 < 100$ conviene prima ragionare sui percorsi verticali considerando positivi gli avanzamenti verso il basso. Il primo tratto verticale corrisponde ad un avanzamento verso il basso di $\phantom{,}\!79$ quadretti partendo dalla prima riga in alto; il secondo tratto consiste in un avanzamento di $-77$ quadretti, e la posizione è $79 - 77 = 2$ verso il basso relativamente alla prima riga. Continuando così la posizione finale sarà: $79 - 77 + 75 - 73 ...$ fino ad un avanzamento finale di $\pm 1$. Per capire il segno finale osserviamo che il segno è meno quando il resto della divisione per $\phantom{,}\!4$ di $\phantom{,}\!77$, $\phantom{,}\!73$, ... è $\phantom{,}\!1$, e quindi l'ultimo termine è $-1$. Raggruppando a due a due si ha $(79 - 77) + (75 - 73) + ... + (3 - 1)$ con un totale di $80/4 = 20$ addendi di valore $\phantom{,}\!2$, quindi la posizione sulla verticale è di $\phantom{,}\!40$ quadretti dalla prima riga verso il basso, che corrisponde alla riga $1 + 40 = 41$. Siccome dopo l'ultimo avanzamento verticale di una casella verso l'alto non è più possibile proseguire, gli spostamenti orizzontali saranno $(79 - 79) + (77 - 75) + ... + (5 - 3)$ (con valori corrispondenti alla prima serie aumentati di $\phantom{,}\!2$, con l'eccezione del primo valore). In ogni caso abbiamo lo stesso numero di termini di prima ( $\phantom{,}\!20$), di cui però il primo vale 0 invece che $\phantom{,}\!2$. La somma è dunque $\phantom{,}\!38$ e la colonna finale sarà $\phantom{,}\!39$. La risposta è .